Question

17．已知函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx．
（1）若a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx的定义域为（0，+∞），从而讨论去绝对值号，再求导以确定函数的单调性及极值，从而解得．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{2x}$=$\frac{（2x+1）（2x-1）}{2x}$，
令f′（x）=0，解得x=±$\frac{1}{2}$，
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）单调递减，
故函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增；
（2）：函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx的定义域为（0，+∞），
当a≥0时，f（x）=x（x+a）-lnx，
f′（x）=2x+a-$\frac{1}{2x}$=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$；
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}+4}$），x=$\frac{1}{4}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}+4}$）（舍去）；
经检验，x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}+4}$），是函数f（x）的极值小点；
当a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\\{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x≥-a}\end{array}\right.$；
当0＜x＜-a时，f′（x）=-$\frac{4{x}^{2}+2ax+1}{2x}$，当x≥-a时，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$；
当-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0时，
当0＜x＜-a时，f′（x）＜0，当x≥-a时，f′（x）先负后正；
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}+4}$），x=$\frac{1}{4}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}+4}$）（舍去）；
经检验，x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}+4}$），是函数f（x）的极值小点；
当-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
当0＜x＜-a时，f′（x）≤0，当x≥-a时，f′（x）≥0；
故x=-a是函数f（x）的极值小点；
当a＜-2时，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$），x=$\frac{1}{4}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$），
经检验，x=$\frac{1}{4}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$），是函数f（x）的极值大点，
x=$\frac{1}{4}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$），是函数f（x）的极值小点；
且当$\frac{1}{4}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$）＜x＜-a时，f′（x）＜0，当x≥-a时，f′（x）＞0；
故x=-a是函数f（x）的极值小点．

点评 本题考查了绝对值函数的应用，导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．