Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2ex，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）-a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）-a的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由分段函数知需要讨论，当x≥0时，可得a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x＞0；令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，从而求导g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$；从而判断函数的单调性及零点的个数；当x＜0时，方程f（x）-a|x|=0可化为-x（x+2e-a）=0，从而确定a的取值范围；再按分段函数讨论即可．

解答 解：①当x≥0时，方程f（x）-a|x|=0可化为e^x-ax=0，
故a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x＞0；
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$；
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
且g（1）=e；
故当a=e时，方程f（x）-a|x|=0在x≥0时有一个解，
当a＜e时，方程f（x）-a|x|=0在x≥0时没有解，
当a＞e时，方程f（x）-a|x|=0在x≥0时有两个解；
②当x＜0时，方程f（x）-a|x|=0可化为-x（x+2e-a）=0，
故当a＜2e时，方程f（x）-a|x|=0在x＜0时有一个解，
当a≥2e时，方程f（x）-a|x|=0在x＜0时没有解；
综上所述，若关于x的方程f（x）-a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，
则e＜a＜2e；
当x＜0时，令f（x）-a=-x²-2ex-a=0，
可化为x²+2ex+a=0，
由判别式△=4e²-4a＞0，及根与系数的关系知，
方程有两个不同的负根；
当x≥0时，令f（x）-a=e^x-a=0，
故x=lna；
故函数y=f（x）-a的零点个数为3；
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，同时考查了根与系数的关系应用．