Question

设函数f（x）=ax²-（a+1）x+1．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）若a∈[-1，1]，求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）为偶函数，得到方程即可求实数a的值；
（2）若a∈[-1，1]，转化不等式f（x）＜0为g（a）＜0，推出不等式求解即可得到x的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax²-（a+1）x+1．是偶函数，
∴a+1=0，解得a=-1．
（2）∵ax²-（a+1）x+1=a（x²-x）+（1-x），
令g（a）=a（x²-x）+（1-x），当x²-x=0时，x=0或x=1，不等式f（x）＜0无解．
则g（a）是关于a的一次函数，
g（a）为[-1，1]上g（a）＜0，
可得：

-(x2-x)+1-x＜0 (x2-x)+1-x＜0

，
解得x∈∅，
综上，x的取值范围是∅．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，综合性较强，考查学生的转化能力．