Question

10．设不等式|x-$\frac{1}{2}$|＞$\frac{3}{2}$的解集为A，函数g（x）=$\sqrt{\frac{3}{x}-1}$的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p≤0．且α是β的充分不必要条件，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q的x的范围，设集合C={x|2x+p≤0}，求出x的范围，结合α是β的充分不必要条件，得到（A∩B）⊆C，解不等式组即可．

解答 解：解不等式|x-$\frac{1}{2}$|＞$\frac{3}{2}$得：x＞2或x＜-1，
∴集合A=（-∞，-1）∪（2，+∞），
∵函数g（x）=$\sqrt{\frac{3}{x}-1}$的定义域为集合B，
∴$\frac{3}{x}$-1≥0，解得：0＜x≤3，
∴集合B=（0，3]，
∴A∩B=（2，3]；
设集合C={x|2x+p≤0}，则x∈（-∞，-$\frac{p}{2}$]，
∵α是β的充分不必要条件，
∴（A∩B）⊆C，
只需满足3≤-$\frac{p}{2}$⇒p≤-6，
∴实数p的范围是（-∞，-6]．

点评 本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算．