Question

5．函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答 解：：∵x=-2时，y=log_a1-1=-1，
∴函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$（2m+n）（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$
∴则$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．