Question

对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0
④f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

当f（x）=log₃x时，上述结论中正确的序号是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数的运算性质，可以判断①②的真假；根据常用对数函数的单调性，可以判断③的真假；根据常用对数函数图象的形状为凹增的，可以判断④的真假，进而得到答案．

解答： 解：①f（x₁+x₂）=log₃（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=log₃x₁•log₃x₂，①错误，
②f（x₁•x₂）=log₃（x₁•x₂）=log₃x₁log₃x₂=f（x₁）•f（x₂），∴②正确．
③满足条件

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0的函数为减函数，∴函数f（x）=log₃x为减函数，∴③错误；         
④满足条件f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

的函数为凸函数，∴f（x）=log₃x为凸函数，∴④正确．
故选：B．

点评：本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用，对数函数图象的形状，熟练掌握对数的图象及性质是解答本题的关键．