题目内容
5．点P（-3，1）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左准线（$x=-\frac{a^2}{c}$）上．过点P且方向为$\overrightarrow a$=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$ |
分析 根据直线的方向向量，求得直线PQ的斜率，求得直线PQ的方程，求得与x=-2的交点坐标，求得反射直线QF1的方程，求得F1坐标，求得c的值，根据$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，求得a的值，由椭圆的离心率公式即可求得e．
解答 解：如图，过点P（-3，1）的方向 $\overrightarrow a$=（2，-5）
∴直线PQ的斜率为：kPQ=-$\frac{5}{2}$，
根据直线方程的点斜式得：lPQ的方程为y-1=-$\frac{5}{2}$（x+3），
与y=-2的交点为 （-$\frac{9}{5}$，-2）光线经过直线y=-2反射后所在的直线方程为y+2=$\frac{5}{2}$（x+$\frac{9}{5}$），与x轴的交点（-1，0）即为椭圆的左焦点
得：c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，则a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案选：A．
点评 本题主要考查了椭圆的简单性质、考查直线方程的求法，利用对称性求解直线方程，属于中档题．
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| A． | {-3，-1，0，3} | B． | {-3，-1，3} | C． | {-3，-1，1，3} | D． | {-3，3} |
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