Question

某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4-

3

x+2

．已知s万件该商品的进价成本为20+3s万元，商品的销售价格定为5+

30

s

元/件．
（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答： 解：（1）由题意知，y=（5+

30

s

）s-x-（20+3s）=2s+10-x
将s=4-

3

x+2

代入化简得：y=18-

6

x+2

-x；
（2）y=18-

6

x+2

-x=20-[

6

x+2

+（x+2]
∵

6

x+2

+（x+2）≥2

6

，当且仅当

6

x+2

=x+2，即x=

6

-2时，取等号，
∴x=

6

-2时，商家的利润最大，最大利润为22-

6

．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．