Question

已知函数f（x）＜0定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，给出下列命题中正确命题个数是：（　　）
①当x＜0时，f（x）=xln（-x）            
②函数f（x）有2个零点
③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）     
④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数的性质，f（-x）=-f（x），加以判断．

解答： 解：函数的图象如图：
x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-xln（-x）
∵函数是奇函数，
∴f（x）=-f（x）=xln（-x），故①正确；
∴f（0）=0，故函数的零点由三个，故②不正确；
由图象可知：③正确；
当x∈[-1，1]时，f（x）_max=-

1

e

ln

1

e

=

1

e

，
f（x）_min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
∴④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．故④正确．
故选C

点评：本题考查了函数解析式的求法，零点的求法，以及函数的单调性，属于基础题目．利用绘画函数图象，通过图象得到结论．