Question

设曲线C的参数方程为

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是参数，a＞0），直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：曲线C的参数方程为

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是参数，a＞0），利用sin²θ+cos²θ=1化为（x-a）²+（y-1）²=16．直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

化为3x+4y-5=0．由于曲线C与直线l只有一个公共点，可得直线与圆相切，因此圆心到直线l的距离d=r，a＞0，解出即可．

解答： 解：曲线C的参数方程为

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是参数，a＞0），化为（x-a）²+（y-1）²=16．
直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，化为3x+4y-5=0．
∵曲线C与直线l只有一个公共点，
∴直线与圆相切，
∴圆心到直线l的距离d=

|3a+4-5|

32+42

=r=4，a＞0，
解得a=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．