Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-2）²+（y+1）²=5，过点P（5，0）且斜率为k的直线l与圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若弦长|AB|=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l与圆C相交于不同的两点A，B，故圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{2k+1-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜\sqrt{5}$，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）若弦长|AB|=4，利用勾股定理，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知圆C：（x-2）²+（y+1）²=5，知圆心C（2，-1），半径$\sqrt{5}$，----（1分）
设过点P（5，0）且斜率为k的直线l：y=k（x-5），-----------------------------------（2分）
因为直线l与圆C相交于不同的两点A，B，
故圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{2k+1-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜\sqrt{5}$---------（5分）
得（2k+1）（k-2）＜0，所以，$-\frac{1}{2}＜k＜2$------------------------------（7分）
（Ⅱ）弦长|AB|=4，得：$5-{（\frac{{|{1-3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}=4$----------------------------------------（8分）
解得：k=0或$k=\frac{3}{4}$y=0或是3x-4y-15=0（10分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．