Question

已知n∈N^*，n＞2，（2

x

-

1

x

）ⁿ的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n；    
（Ⅱ）求展开式中x 

1

2

的系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）求出展开式的前2，3，4项的系数，利用等差数列得到n的关系式，求解即可；    
（Ⅱ）通过二项展开式中，x的幂指数是

1

2

，求出项数，即可x 

1

2

的系数．

解答： 解：（Ⅰ）展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

．
由题意可知：2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

即 2•

n(n-1)

2

=n+

n(n-1)(n-2)

6

…（4分）
化简得n²-9n+14=0…（5分）
又n＞2，则n=7．…（6分）
（Ⅱ）展开式的通项为：Tr+1=

C

r 7

(2

x

)7-r(-

1

x

)r=(-1)r27-r

C

r 7

x

7

2

-r…（9分）
根据题意，得 

7

2

-r=

1

2

即r=3…（10分）
所以x

1

2

的系数为：(-1)327-3

C

3 7

=-560．…（12分）

点评：本题考查二项式定理的应用，特定项系数的求法，考查计算能力．