Question

20．已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|x+1|-x．
（1）解不等式f（x）＞g（x）；
（2）若存在实数x，使不等式m-g（x）≥f（x）+x（m∈R）能成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为m≥（|x-2|+|+1|）_min，根据绝对值的性质求出m的最小值即可．

解答 解：（1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x-2|+x＞|x+1|，
当x＜-1时，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
当-1≤x≤2时，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
当x＞2时，x-2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3，
综上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|-3＜x＜1或x＞3}．
（2）由不等式m-g（x）≥f（x）+x（m∈R）可得m≥|x-2|+|x+1|，
∴m≥（|x-2|+|+1|）_min，∵|x-2|+|x+1|≥|x-2-（x+1）|=3，
∴m≥3，故实数m的最小值是3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．