题目内容

已知向量 $数学公式$ ，函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的值域．

解：（1）由于函数 $\text{[math]}$ =1-（2cos²x-2 $\text{[math]}$ sinxcosx）=1-（1+cos2x- $\text{[math]}$ sin2x）=
2（ $\text{[math]}$ ）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），
故函数f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令 $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 $\text{[math]}$ ，k∈z，
故单调递增区间为[ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由于x∈ $\text{[math]}$ ，∴2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，故-1≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，-2≤2sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤1，
故函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为[-2，1]．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数解析式为2sin（2x- $\text{[math]}$ ），求出最小正周期，再由 $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围，即可求得单调递增区间．
（2）由于x∈ $\text{[math]}$ ，可得 2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，从而求得2sin（2x- $\text{[math]}$ ）的范围，即可求得值域．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．