Question

19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB=$\sqrt{3}$b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=$\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$2sinAsinB=\sqrt{3}sinB$，结合sinB≠0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可求A的值，由余弦定理可得a，根据角分线定理可求BD的值．

解答 解：∵2asinB=$\sqrt{3}$b，
∴由正弦定理可得$2sinAsinB=\sqrt{3}sinB$，
∵sinB≠0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A为锐角，可得$A=\frac{π}{3}$，
∵b=2，c=3，
∴由余弦定理可得a²=b²+c²-2bcosA=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，可得：a=$BC=\sqrt{7}$，
∴根据角分线定理可知，$BD=\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，角分线定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．