题目内容
已知O为坐标原点，
=（2cos2x，1），
=（a，
asin2x+1-a），a为非零常数．设y=
•
．
（1）求y关于x的函数解析式f（x）为 ．
（2）当x∈[0，
]时，f（x）的最大值为3，求a的值并指出f（x）的单调增区间为 ．
| OA |
| OB |
| 3 |
| OA |
| OB |
（1）求y关于x的函数解析式f（x）为
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：平面向量及应用
分析：（1）由数量积和三角函数的运算化简可得f（x）；（2）由x∈[0，
]可得sin（2x+
）∈[-
，1]，分类讨论可得答案．
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵
=（2cos2x，1），
=（a，
asin2x+1-a），
∴f（x）=
•
=2acos2x+
asin2x+1-a
=a（2cos2x-1）+
asin2x+1
=acos2x+
asin2x+1
=2asin（2x+
）+1
（2）∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，
当a＞0时，2a+1=3，a=1，此时f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）；
当a＜0时，-a+1=3，a=-2，此时f（x）的单调增区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
故答案为：f（x）=2asin（2x+
）+1；当a＞0时，[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）；当a＜0时，[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
| OA |
| OB |
| 3 |
∴f（x）=
| OA |
| OB |
| 3 |
=a（2cos2x-1）+
| 3 |
=acos2x+
| 3 |
=2asin（2x+
| π |
| 6 |
（2）∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin（2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
当a＞0时，2a+1=3，a=1，此时f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
当a＜0时，-a+1=3，a=-2，此时f（x）的单调增区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
故答案为：f（x）=2asin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的运算和单调性，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A、表面积为
| ||||
B、表面积为
| ||||
C、体积为
| ||||
D、体积为2
|
如图，ABCD为圆内接四边形，从它的一个顶点A引平行于CD的弦AP交圆于P，并且分别交BC，BD于Q，R．求证：