Question

已知函数f（x）=x²+bx+c满足条件：函数图象过原点，f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[t，t+1]上是单调函数，求t的取值范围
（3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥2（a-1）x+a+

1

4

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数的对称轴方程求得b，利用判别式等于零求得c，从而求得函数的解析式．
（2）由于二次函数f（x）的对称轴为x=1，函数在[t，t+1]上是单调函数，可得t≥1，或t+1≤1，由此求得t的范围．
（3）由题意可得，当x∈[-1，+∞）时，x²-2ax+2-a≥0 恒成立．令h（x）=x²-2ax+2-a，则h（x）的对称轴为 x=a．分当a≤-1时和当a＞-1时两种情况，由函数h（x）的最小值大于或等于0，求得a的范围．

解答： 解：（1）f（1+x）=f（1-x）可得函数的对称轴为x=-

b

2

=1，∴b=-2．
方程f（x）=x有两个相等的实根，可得x²-2x+c=x有两个相等的实根，
即 x² -3x+c=0有两个相等的实根，
故△=（-3）²-4c=0，解得c=

9

4

，f（x）=x²-2x+

9

4

，
（2）由于二次函数f（x）的对称轴为x=1，函数在[t，t+1]上是单调函数，则有t≥1，或t+1≤1，
解得t≥1，或t≤0，即t的范围为{t|t≥1，或t≤0}．
（3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥2（a-1）x+a+

1

4

恒成立，即 x²-2ax+2-a≥0 恒成立．
令h（x）=x²-2ax+2-a，则h（x）的对称轴为 x=a．
当a≤-1时，h（x）在[-1，+∞）上是增函数，由h（0）=2-a≥0，求得a≤2，
综合可得 a≤-1．
当a＞-1时，由题意可得函数h（x）的最小值h（a）=2-a²-a≥0，求得-2≤a≤1，
综合可得-1＜a≤1．
综上可得，a≤1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．