Question

【题目】已知，函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个相异零点， ，求证： ．(其中e为自然对数的底数)

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，分和两种情况分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅱ）要证： ，即证，不妨设，∵， 是函数的零点， 化简，则转化为证： ，构造函数，利用单调性与最值，即可作出证明.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为， ，

　① 当时， 恒成立， 在上单调递增，

② 当时，令，解得，

时， ， 在单调递增，

时， ， 在单调递减，

综上所述，当时， 在上单调递增，

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）证法一 要证： ，则证，

即证，

不妨设，∵， 是函数的零点，则， ，

　所以， ，

所以， ，

则，

则转化为证： ，令，则，

于是即证： ，可化为，即证，

构造函数， ，

令，则，则在单增，则，

则，则在单增，则，即成立，

所以成立.

证法二 的定义域为，要证： ，则证，

即证，令， ，

即证，也即证，

因为， 是函数的相异零点，则， ，

所以，即，所以， ，

所以，

不妨设，则，令（），

要证，则转化为证（其中），即证，……10分

令（），则，

，∴在上单调递增，∴，

∴在上单调递增，∴，即成立，

从而原命题成立

证法三 的定义域为 ，要证： ，则证，

即证，令， ， ，

则转化为证明命题“函数有两个相异的零点， ，求证”，……6分

∵，

①当时， ，所以在上单调递增，此时没有两个零点，不合题意；

②当时，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

要使有两个相异零点，则，解得；

且时， ， 时， ，

不妨设，要证，即证，

而，所以， ，

而函数在上单调递增，要证，只要证，而，即证，

由于，而，即，

∴（），记（），

∴，

令（），则，

∴在上单调递增，则，

∴，∴在上单调递减，则，即成立，

从而原命题成立 .