Question

【题目】如图，在直角梯形中， // ， ⊥， ⊥, 点是 边的中点, 将△沿折起，使平面⊥平面，连接, , , 得到如图所示的几何体.

（Ⅰ）求证： ⊥平面；

（Ⅱ）若， ，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 由平面⊥平面，得到⊥平面，进而证得⊥，

利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知平面的法向量，求得平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解二面角的大小.

试题解析： (Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面

因为平面，所以⊥

又⊥，∩，所以⊥平面.

(Ⅱ) ，.

依题意△～△，

所以，即.

如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，

，， ，.

由（Ⅰ）知平面的法向量.

设平面的法向量

由得

令，得,所以.

所以.

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为.