Question

【题目】设函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时， .

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为； 的单调递增区间为；（2）；（3）见解析．

【解析】【试题分析】（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得： ，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有：

解：（1））当时，则，令得，所以有

即时， 的单调递减区间为； 的单调递增区间为.

（2）由，分离参数可得： ，

设， ，

∴，又∵，

∴，则在上单调递减，

∴，∴

即的取值范围为.

（3）证明： 等价于

设，

∴，由（2）知时， 恒成立，

所以，

∴恒成立

∴在上单调递增，

∴，因此时，有.