题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是考点：直线与平面所成的角
专题：综合题,空间角
分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是[∠AOA1，
]∪[∠C1OA1，
]．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：
解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是[∠AOA1，
]∪[∠C1OA1，
]．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=
=
=
．
sin∠C1OA1=sin（π-2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=2×
×
=
＞
，
∴sinα的取值范围是[
，1]．
故答案为：[
，1]．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=
| AA1 |
| A1O |
| 2 | ||
|
| ||
| 3 |
sin∠C1OA1=sin（π-2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=2×
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴sinα的取值范围是[
| ||
| 3 |
故答案为：[
| ||
| 3 |
点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．
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