Question

15．已知函数f（x）=m-|x-1|-|x+1|．
（1）当x∈（1，+∞）时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若二次函数y=x²+2x+3与函数k的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1讨论，再解一次不等式，求并集即可；
（2）求得二次函数的最小值，以及分段函数的最大值，由恒有公共点，可得m的不等式，解得m的范围．

解答 解：（1）当m=5 时，f（x）=5-|x-1|-|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{5+2x，x＜-1}\\{3，-1≤x≤1}\\{5-2x，x＞1}\end{array}\right.$，…3分
由f（x）＞2得不等式的解集为{x|-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$}．…5分
（2）由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2，
该函数在x=-1 取得最小值2，
因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{m+2x，x＜-1}\\{m-2，-1≤x≤1}\\{m-2x，x＞1}\end{array}\right.$，在x=-1 处取得最大值m-2，…8分
所以要使二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，
只需m-2≥2，即m≥4．…10分

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论，考查恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．