Question

10．下列说法正确的个数为（　　） 
①若$\vec a∥\vec b$，则一定存在实数λ，使$\vec a=λ\vec b$；
②已知空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若满足2$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}-y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$中x-y+z=2，则P与A，B，C共面；
③如图1，在平行六面体中，以A为端点的三条棱长都为1，且彼此的夹角都为60°，那么AC₁=$\sqrt{3}$；
④如图2，A∈α，B∈β，AC⊥l，BD⊥l，若AC=BD=CD=1，AB=2，则α，β所成二面角为60°．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 举例说明①错误；由共面向量基本定理说明②正确；分别利用空间向量求解AC₁与α，β所成二面角说明③④错误．

解答 解：①由向量共线定理可知，当$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$时不成立，故①错误；
②由2$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}-y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，得$\overrightarrow{OP}=\frac{x}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{z}{2}\overrightarrow{OC}$，
∵x-y+z=2，∴$\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$，则P与A，B，C共面，故②正确；
③∵${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+{\overrightarrow{C{C}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{C{C}_{1}}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}$
=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°
=6．∴|AC₁|=$\sqrt{6}$，故③错误；
④设二面角α-l-β的平面角为θ，AC⊥l，BD⊥l，
AC=BD=CD=1，AB=2，∴${\overrightarrow{AB}}^{2}=（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}）^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}$$+{\overrightarrow{DB}}^{2}+$$2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DB}|cosθ$，
∴4=1+1+1-2cosθ，解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴α，β所成二面角为120°，故④错误．
∴正确命题的个数是1个．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间向量在求解问题中的应用，是中档题．