Question

10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的方程为 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t为参数）．消去参数得直线普通方程，由圆C的方程为 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²-4t+1=0，△＞0．利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t为参数）．
消去参数得直线普通方程为$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，
由圆C的方程为 ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，
可得圆C的直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
（Ⅱ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （ t为参数）．
把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²-4t+1=0，△＞0．
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=1．
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．