Question

20．在如图所示三棱锥D-ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求平面AEF将三棱锥D-ABC分成两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （1）由已知求解直角三角形可得AC⊥BC．再由平面ACD⊥平面ABC，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACD，从而得AD⊥BC；
（2）取线段AC的中点O，连接DO，由AD=CD，得DO⊥AC．再由平面ACD⊥平面ABC，可得DO⊥平面ABC，然后求出三棱锥D-ABC和A-EBF的体积，利用等积法作差求得V_A-EFCD，则答案可求．

解答 （1）证明：在Rt△ADC中，AD=DC=2，AD⊥DC，∴$AC=2\sqrt{2}$，
在△ABC中，∵∠BAC=45°，AB=4，
∴BC²=AC²+AB²+2AC•AB•cos45°=${（2\sqrt{2}）^2}+{4^2}-2×2\sqrt{2}×4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=8$，
可得：$AC=BC=2\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²．则AC⊥BC．
又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面ACD，得AD⊥BC；
（2）解：取线段AC的中点O，连接DO，
∵AD=CD，∴DO⊥AC．
又∵平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，∴DO⊥平面ABC，
$DO=\sqrt{2}$，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•DO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
过点E作EG∥DO交BO于G，∴EG⊥平面ABC，
∵BD=3BE，∴$EG=\frac{1}{3}DO=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
∵BC=2BF，∴$BF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，
V_A-EBF═$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{9}$，
∴V_A-EFCD=V_D-ABC-V_E-ABF=$\frac{{10\sqrt{2}}}{9}$，
∴平面AEF将三棱锥D-ABC分成的两部分的体积之比$\frac{{10\sqrt{2}}}{9}：\frac{{2\sqrt{2}}}{9}=5：1$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．