Question

设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈ N*）。
（1）若a₁，S₂，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃；
（2）求证：对k≥3有0≤a_k+1≤a_k≤。

Answer 1

解：（1）由题意
得
由S₂是等比中项知S₂≠0
因此S₂=-2
由
解得。
（2）由题设条件有

故S_n≠1，a_n+1≠1且
从而对k≥3有
 ①
因且，由①得a_k≥0
要证
由①只要证
即证
即（a_k-1-2）²≥0，此式明显成立
因此（k≥3）
最后证
若不然
又因a_k≥0，故
即（a_k-1）²＜0，矛盾
因此a_k+1≤a_k（k≥3）。