Question

设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a_k≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，得S₂²=-2S₂，由S₂是等比中项知S₂=-2，由此能求出S₂和a₃．
（Ⅱ）由题设条件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，S_n≠1，a_n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a_n-1≤．
解答：解：（Ⅰ）由题意，
得S₂²=-2S₂，
由S₂是等比中项知S₂≠0，
∴S₂=-2．
由S₂+a₃=a₃S₂，解得．
（Ⅱ）证明：因为S_n+1=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=a_n+1+S_n，
由题设条件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，
∴S_n≠1，a_n+1≠1，且，
从而对k≥3 有 ①
因，且，
要证，由①，只要证
即证，即，
此式明显成立，因此．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．