Question

定义在R上的奇函数f（x），满足条件：在x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，且f（-1）=f（1）．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在（0，1）上的取值范围；
（3）若x∈（0，1），解关于x的不等式f（x）＞λ．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），由已知表达式可求f（-x），由奇偶性可得f（x）=-f（-x），由奇偶性可求f（±1）；
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，令t=2^x，则t∈（1，2），利用导数可判断新函数的单调性，由单调性可求函数的取值范围；
（3）当x∈（0，1）时，令t=2^x，则t∈（1，2），f（x）＞λ化为

t

t2+1

＞λ，根据f（x）的范围分三种情况对λ进行讨论，借助单调性可解不等式；

解答： 解：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
又x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
∵在R上的函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-

2x

1+4x

，
f（x）在（-1，0）上的解析式为f（x）=-

2x

1+4x

．
f（-1）=f（1），即-f（1）=f（1），∴f（1）=f（-1）=0．
综上，f（x）=

0，x=±1，0 2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

．
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，
令t=2^x，则t∈（1，2），
函数变为y=

t

t2+1

，y′=

1-t2

(t2+1)2

＜0，
∴y=

t

t2+1

在（1，2）上为减函数，
t=1时，y_max=

1

2

；t=2时，ymin=

2

5

．
∴f（x）在（0，1）上的取值范围是（

2

5

，

1

2

）．
（3）当x∈（0，1）时，令t=2^x，则t∈（1，2），
f（x）＞λ化为

t

t2+1

＞λ，
由（2）知

t

t2+1

的取值范围是（

2

5

，

1

2

）．
当λ≤

2

5

时t∈（1，2），x∈（0，1）；
当λ≥

1

2

时，为∅；
当

2

5

＜λ＜

1

2

时，令

t

t2+1

=λ，解得t=

1+ 1-4λ2

2λ

或t=

1- 1-4λ2

2λ

（舍去），
又y=

t

t2+1

在（1，2）上为减函数，
∴由

t

t2+1

＞λ得1＜t＜

1+ 1-4λ2

2λ

，即1＜2x＜

1+ 1-4λ2

2λ

，解得0＜x＜log2

1+ 1-4λ2

2λ

；
综上所述，当λ≤

2

5

时不等式的解集为（0，1）；当λ≥

1

2

时不等式的解集为∅；当

2

5

＜λ＜

1

2

时，不等式的解集为（0，log2

1+ 1-4λ2

2λ

）．

点评：该题考查指数函数与其它函数的综合问题，考查函数解析式、值域的求解和不等式的解法，考查学生综合解决问题的能力．