Question

6．已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为$\frac{π}{2}$，图象过点$（0，-\frac{1}{2}）$．
（1）求ω、φ的值和f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数F（x）=g（x）+k在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有两个不同零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性求得ω，根据f（x）的图象过点$（0，-\frac{1}{2}）$，求得φ的值，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调增区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．结合函数g（x）的图象和直线y=-k有且只有两个不同的交点，求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
∵f（x）的图象过点$（0，-\frac{1}{2}）$，∴sinφ-1=-$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，故f（x）的单调增区间为[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，可得y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1 的图象．
在区间$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
故g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]，
若函数F（x）=g（x）+k在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有两个不同零点，
由题意可得，函数g（x）的图象和直线y=-k有且只有两个不同的交点，并根据sin（$\frac{π}{3}$）-1=sin$\frac{2π}{3}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1≤k＜0．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．