Question

【题目】【2018届北京市海淀区】如图，三棱柱侧面底面，

， 分别为棱的中点.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求三棱柱的体积；

（Ⅲ）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）在直线上存在点，使得平面，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题目中的侧面底面， 由条件知底面， ；（3）连接并延长，与的延长线相交，设交点为，证线线平行即，进而得到线面平行。

解析：

（Ⅰ）证明：三棱柱中，

侧面底面， ，

又因为侧面底面， 底面，

所以平面，又因为平面，

所以；

（Ⅱ）连接 ,因为三棱柱中，所以.

因为，所以.又因为，且.

所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点，所以，

又因为， ，所以.

因为， 底面，

所以底面.所以三棱柱的体积为

；

（Ⅲ）在直线上存在点，使得平面.

证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.

因为，所以，故

由于为棱的中点，所以，故有

又为棱的中点，故为的中位线，所以.

又平面， 平面，所以平面.

故在直线上存在点，使得平面.

此时， .