Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由(1)可知，，不等式化为，令，则，，利用导数研究函数的单调性，证明当时，不等式不成立，当时，可证明，适量题意，即.

试题解析：(1)定义域为，

，

当或时，恒成立，

当时，由得或，

于是结合函数定义域的分析可得：

当时，函数在定义域上是增函数；

当时，函数定义域为，此时有，

于是在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，函数定义域为，

于是在上为减函数，在上为增函数，

当时，函数定义域为，此时有，

于是在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，函数定义域为，

于是在上是增函数，在上是增函数.

(2)由(1)知存在两个极值点时，的取值范围是，

由(1)可知，，

；

不等式化为，

令，所以，

令，，

当时，，，，所以，不合题意；

当时，，，

所以在上是减函数，所以，适量题意，即.

综上，若，此时正数的取值范围是.