Question

【题目】设函数.

(1)若，求函数在的切线方程；

(2)若函数在上为单调递减函数，求实数的最小值；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析: （1）若，写出函数,求出切点和斜率,即可写出切线方程;(2) 函数可化为，在上为单调递减函数,即导函数小于等于0在在上恒成立,分离参变量,转化为构造出的新函数最值问题,对新函数求导,判断单调性求出最值即可;(3) 存在，使得成立,即,又,即f(x)min ,根据的导函数对参数进行讨论,分别得出单调性进而求出最小值,代入不等式求出a的范围.

试题解析:(1)若，则，，，，

所以所求切线为

（2）函数可化为，在上为单调递减函数，在上恒成立，恒成立，令，则，

可知在单调递增，在单调递减，所在，

最小值是

(3)命题等价于“当时,有f(x)minf′(x)max+a”，

由(Ⅰ)知,当x∈[e,e2]时,lnx∈[1,2],，

=，

问题等价于：“当x∈[e,e2]时,有f(x)min ”，

①a 时,由(2),f(x)在[e,e2]上为减函数，

则f(x)min=f(e2)=

∴.

②当

由于在上为增函数，所以的值域为

即

若，即，恒成立，所以为增函数，于是

，不合题意

若，，由的单调性和值域知

存在唯一，使得，且

,,为减函数

,,为增函数

所以

与矛盾

综上,实数a的取值范围为.