Question

已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
（3）求y=f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（3）根据a和区间的关系，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）f（x）=

x2+(2-2a)x， x≥2a -x2+(2+2a)x， x＜2a

，
当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a-1；
当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；
∴当a-1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，
即-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；      
（3）①当-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，此时函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=4+2|4a-2|．
②当a＞1时，即2a＞a+1＞a-1，
f（x）在（-∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，此时函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=4+2|4a-2|
③当a＜-1时，即2a＜a-1＜a+1，
f（x）在（-∞，2a）上单调增，在（2a，a-1）上单调减，在（a-1，+∞）上单调增，
此时函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=4+2|4a-2|．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．