Question

求函数f（x）=2-4asinx-cos2x的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，得到f（x）=2sin²x-4asinx+1，然后，换元sinx=t，t∈[-1，1]，根据二次函数的图象与性质进行求解．

解答： 解：∵f（x）=2-4asinx-cos2x
=2-4asinx-（1-2sin²x）
=2sin²x-4asinx+1，
∴f（x）=2sin²x-4asinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t²-4at+1
=2（t-a）²+1-2a²，
∴h（t）=2（t-a）²+1-2a²，
∵t∈[-1，1]，
当a≤-1时，函数h（t）在[-1，1]上为增函数，
∴t=-1时，取得最小值，
g（a）=2+4a+1=5+4a，
当-1＜a≤1时，函数h（t）在t=a时，取得最小值，
g（a）=2t²-4at+1，
当a＞1时，函数h（t）在[-1，1]上为减函数，
∴t=1时，取得最小值，
g（a）=2-4a+1=3-4a，
∴g（a）=

5+4a ;a≤-1 2t2-4at+1 ;-1＜a≤1 3-4a ;a＞1

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．