设△ABC的内角A.B.C所对边的长分别为a.b.c.则下列命题正确的个数是．( )①若ab＞c2.则$C＜\frac{π}{3}$②若a+b＞2c.则$C＜\frac{π}{3}$③若a3+b3=c3.则$C＜\frac{π}{2}$④若(a+b)c＜2ab.则$C＞\frac{π}{2}$⑤若(a2+b2)c2＜2a2b2.则$C＞\frac{π}{3}$．A．1B．2C．3D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的个数是．（　　）
①若ab＞c²，则$C＜\frac{π}{3}$
②若a+b＞2c，则$C＜\frac{π}{3}$
③若a³+b³=c³，则$C＜\frac{π}{2}$
④若（a+b）c＜2ab，则$C＞\frac{π}{2}$
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，则$C＞\frac{π}{3}$．

A．

B．

C．

D．

分析 ①利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；②；②利用余弦定理，将c²放大为$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，③利用反证法，假设C≥$\frac{π}{2}$时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤，只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形．

解答解：对于①，ab＞c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}＞\frac{2ab-ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，⇒C＜$\frac{π}{3}$，故正确；
对于②，a+b＞2c⇒cosC═$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}＞\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故正确；
对于③，当C$≥\frac{π}{2}$时，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³与a³+b³=c³矛盾，故正确；
对于④，取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，故错；
对于⑤，取a=b=$\sqrt{2}$，c=1，满足（a²+b²）c²＜2a²b²，此时有C＜$\frac{π}{3}$，故错误．
故选：

点评本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3
（1）求抛物线的方程；
（2）过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

11．（1）$\sqrt{\frac{25}{9}}-{（{\frac{8}{27}}）^{\frac{1}{3}}}-{（π+e）^0}+{（{\frac{1}{4}}）^{-\frac{1}{2}}}$
（2）$\frac{lg8+lg125-lg2-lg5}{{lg\sqrt{10}lg0.1}}$
（3）已知a，b，c为正实数，a^x=b^y=c^z，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$，求abc的值．

18．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且$0＜10{log_m}^{（{ab}）}＜1$，则m的取值范围是（　　）

9．命题“若c＜0，则方程x²+x+c=0有实数解”，则（　　）

	A．	该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
	B．	该命题的逆命题为真，逆否命题也假
	C．	该命题的逆命题为假，逆否命题为真
	D．	该命题的逆命题为假，逆否命题也为假

16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈（0，1]时，f（x）=$\sqrt{x}，则f（\frac{7}{2}）$等于（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

C．

$-\frac{1}{2}$

D．

$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

13．设x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}\right.$，若M=4x+y，N=（$\frac{1}{2}$）^x，则M-N的最小值为-4．

14．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是（　　）

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