题目内容
4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．（1）求曲线C和圆O的标准方程；
（2）已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（$\frac{π}{3}$-α）的值．
分析 （1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为标准方程．可得c=5．得到圆O的半径为5，即可得出标准方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t为参数），可知：直线l经过点B（4，-3），点B在圆O上，而|BC|=5，可得△OBC是等边三角形．得出sin∠xOB即可得出sin（$\frac{π}{3}$-α）．
解答 
解：（1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=30，
把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为2x2-3y2=30，∴标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{15}-\frac{{y}^{2}}{10}=1$．
∴c=$\sqrt{15+10}$=5．
可得曲线C的右焦点F（5，0）．
∴圆O的标准方程为：x2+y2=25．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t为参数），
可知：直线l经过点B（4，-3），
点B在圆O上，而|BC|=5，∴△OBC是等边三角形．
∵sin∠xOB=$\frac{3}{5}$
∴sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{3}{5}$．
点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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