Question

3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且BN=$\frac{1}{3}$BC．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设AB=AC=AP=1，求出BC=$\sqrt{3}$，推导出△NBA∽△ABC，取AB中点Q，推导出AB⊥平面MNQ，由此能证明AB⊥MN；
（2）过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，推导出∠EFM是所求两面角的平面角．由此能求出平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）设AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=$\sqrt{3}$，∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BN}{AB}$，
又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也为等腰三角形．
取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ，∴AB⊥MN；
（2）解：过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，
由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，则ME⊥面PAD，EF⊥AN，
且MF⊥AN，∴∠EFM是所求两面角的平面角．
BD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，EF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，MF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴cos∠EFM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．