题目内容

12．探求凸多面体的面F、顶点数V和棱数E之间的关系得到的结论是（　　）
A．无确定关系B．F+E-V=2C．E+V-F=2D．F+V-E=2

分析 通过列举正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：V+F-E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．

解答 解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，举例如下
①正方体：F=6，V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F-E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：V+F-E=2
故选：D．

点评 本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．

练习册系列答案
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2．如图，ABC-A1B1C1是底面边长为2，高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．
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（Ⅱ）当$λ=\frac{1}{2}$时，求点C到平面APQB的距离．
3．在直角坐标系xOy中直线l过点P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）且倾斜角为α，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中曲线C的方程为ρ2（1+sin2θ）=1，已知直线l与曲线C交于不同两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}$的取值范围．
20．已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为3，则该正三棱锥的外接球的表面积为（　　）
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7．已知函数f（x）=$\frac{3}{4}$x2tan2α+$\sqrt{10}$xcos（α+$\frac{π}{4}$），其中tanα=$\frac{1}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{2}}$）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=$\frac{2}{3}$，an+1=f（an），n∈N*．求证：1＜$\frac{1}{{1+{a_1}}}$+$\frac{1}{{1+{a_2}}}$+…+$\frac{1}{{1+{a_n}}}$＜$\frac{3}{2}$（n∈N*，n≥2）
17．已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…，则第59个数对是（　　）
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4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ-3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．
（1）求曲线C和圆O的标准方程；
（2）已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosφ\\ y=-3+tsinφ\end{array}$（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（$\frac{π}{3}$-α）的值．
1．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{16}}}（x+1），x＜0}\\{-{x^2}+x，x≥0}\end{array}}$，则关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个不同的实数根a，b，c，则a+b+c的取值范围是（　　）
A．（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）B．（$\frac{1}{4}$，1）C．（$\frac{1}{2}$，1）D．（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
2．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1\;，\;x≤0\\{log_2}（x+1）\;，\;x＞0\end{array}$若f（x）=-$\frac{3}{4}$，则x的值是-2．

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