题目内容
6.分析 令A=A1+A2+A3+…+An,根据定积分的定义得到:A1=-lnn+ln(n+1),同理求出A2,A3,…,An的值,相加求出即可.
解答 解:令A=A1+A2+A3+…+An,
由题意得:$\frac{1}{n+1}$<A1<$\frac{1}{n}$,$\frac{1}{n+2}$<A2<$\frac{1}{n+1}$,$\frac{1}{n+3}$<A3<$\frac{1}{n+2}$,…,$\frac{1}{2n}$<An<$\frac{1}{2n-1}$,
∴A1=${∫}_{n}^{n+1}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{n}^{n+1}$=ln(n+1)-lnn,
同理:A2=-ln(n+1)+ln(n+2),A3=-ln(n+2)+ln(n+3),…,An=-ln(2n-1)+ln2n,
∴A=A1+A2+A3+…+An
=-lnn+ln(n+1)-ln(n+1)+ln(n+2)-ln(n+2)+ln(n+3)-…-ln(2n-1)+ln2n
=ln2n-lnn
=ln2,
故答案为:ln2.
点评 本题考查定积分的简单应用,根据定积分的定义得到A1,A2,A3,…,An的值是解题的关键,本题是一道中档题.
练习册系列答案
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