Question

1．已知函数f（x）=（x+2）（x²+ax-5）的图象关于点（-2，0）中心对称，设关于x的不等式f（x+m）＜f（x）的解集为A，若（-5，-2）⊆A，则实数m的取值范围是{3，-3}．

Answer 1

分析 根据题意可知f（-4）+f（0）=0，由此可知求出a，f（x+m）-f（x）＜0等价于3x²+3（m+4）x+m²+6m+3＜0，利用（-5，-2）⊆A，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=（x+2）（x²+ax-5）的图象关于点（-2，0）中心对称，
∴f（-4）+f（0）=0，
∴a=4，
∴f（x）=（x+2）（x²+4x-5）=x³+6x²+3x-10，
f（x+m）＜f（x）等价于f（x+m）-f（x）＜0，
f（x+m）-f（x）=m[3x²+3（m+4）x+m²+6m+3]
若m＞0，f（x+m）-f（x）＜0等价于3x²+3（m+4）x+m²+6m+3＜0，
由题意3×（-5）²-15（m+4）+m²+6m+3≤0且3×（-2）²-6（m+4）+m²+6m+3≤0，
∴3≤m≤6且-3≤m≤3，
∴m=3，
同理，m＜0时，m=-3，
故答案为：{3，-3}．

点评 本题考查集合的包含关系，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．