Question

15．已知奇函数f（x）是[0，2]上的减函数，若f（2a+1）+f（4a-3）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可．

解答 解：∵奇函数f（x）是[0，2]上的减函数，
∴函数f（x）是[-2，2]上的为减函数，
由f（2a+1）+f（4a-3）＞0得f（4a-3）＞-f（2a+1）=f（-2a-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤2a+1≤2}\\{-2≤4a-3≤2}\\{4a-3＜-2a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3≤2a≤1}\\{1≤4a≤5}\\{6a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}≤a≤\frac{5}{4}}\\{a≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．