题目内容

已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，C= $数学公式$ ，若向量 $数学公式$ =（1，sin A）与 $数学公式$ =（2，sin B）共线．
（1）求a，b的值；
（2）求△ABC的面积和外接圆的面积．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线得，2sin A=sin B，（1分）
根据正弦定理得，2a=b．（2分）
根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcos C（3分）
=a²+4a²-2a•2a• $\text{[math]}$ =3a²．（4分）
又c=3，所以a= $\text{[math]}$ ，b=2 $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）S_△ABC= $\text{[math]}$ absin C= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（9分）
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得，2R= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，（11分）
∴R= $\text{[math]}$ ，S_外接圆=πR²=3π．（13分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线得，2sin A=sin B，再根据正弦定理得，2a=b．再根据c=3，C= $\text{[math]}$ ，利用余弦定理求得a，b的值．
（2）由条件计算S_△ABC= $\text{[math]}$ absin C的值，再利用正弦定理求得三角形外接圆的直径2R，即可求得外接圆半径R，从而求得外接圆的面积．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．