Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（2x-

π

6

）-1，可得函数的最小值为-2，最小正周期为

2π

2

．
（2）△ABC中，由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求得C=

π

3

．再由向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线可得sinB-2sinA=0，再由B=

2π

3

-A 可得sin（

2π

3

-A）=2sinA，化简求得A=

π

6

，故B=

π

2

．再由正弦定理求得a、b的值．

解答：解：（1）由于函数f（x）=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
故函数的最小值为-2，最小正周期为

2π

2

=π．
（2）△ABC中，由于f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，可得2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
再由向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线可得sinB-2sinA=0．
再结合正弦定理可得b=2a，且B=

2π

3

-A．
故有 sin（

2π

3

-A）=2sinA，化简可得 tanA=

3

3

，∴A=

π

6

，∴B=

π

2

．
再由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

 可得

a

sin π 6

=

b

sin π 2

=

3

sin π 3

，
解得 a=

3

，b=2

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题．