Question

函数f（x）=Asin（?x+φ）（其中A＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）若直线y=m与函数g（x）图象在x∈[0，

π

2

]时有两个公共点，其横坐标分别为x₁，x₂，求g（x₁+x₂）的值；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，g（C）=0．若向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的图象可得周期，可得ω，代点（

π

3

，0）结合φ的范围可得其值，再由图象变换可得g（x）图象，由对称性可得所求；（Ⅱ）由g（C）=0可得角C，
由向量共线可得sinB-2sinA=0．由正余弦定理可得ab的方程组，解方程组可得．

解答：解：（1）由函数f（x）的图象可得T=4(

7π

12

-

π

3

)=

2π

ω

，解得ω=2，
又2×

π

3

+?=π，∴?=

π

3

，∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，
由图象变换，得g(x)=f(x-

π

4

)-1=sin(2x-

π

6

)-1，
由函数图象的对称性，有g(x1+x2)=g(

2π

3

)=-

3

2

；
（Ⅱ）∵g(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，∴sin(2C-

π

6

)=1
又∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

，
∵

m

与

n

共线，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理得9=a2+b2-2abcos

π

3

，②
解方程组①②可得

a= 3 b=2 3

点评：本题考查三角函数图象和性质，涉及图象的变换和正余弦定理，属中档题．