Question

5．设△ABC的三边为a，b，c满足$\frac{b+c}{a}=cosB+cosC$．
（1）求A的值；
（2）求$2{cos^2}\frac{B}{2}+3{cos^2}\frac{C}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，再利用和差化积公式及二倍角的正弦函数公式化简，整理后求出B+C的度数，即可确定出A的值；
（2）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，用B表示出C，代入后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴$\frac{b+c}{a}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=cosB+cosC，
整理得：$\frac{2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}}{2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B+C}{2}}$=2cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，即cos²$\frac{B+C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{2}$，即$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{4}$，
∴B+C=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{2}$；
（2）∵B+C=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{2}$-B，即cosC=sinB，
∴2cos²$\frac{B}{2}$+3cos²$\frac{C}{2}$=1+cosB+$\frac{3}{2}$（1+cosC）=cosB+$\frac{3}{2}$cosC+$\frac{5}{2}$=cosB+$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$sin（B+φ）+$\frac{5}{2}$，其中tanφ=$\frac{2}{3}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜φ＜$\frac{π}{4}$，即0＜B+φ＜$\frac{3π}{4}$，
∴0＜sin（B+φ）≤1，即$\frac{5}{2}$＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$sin（B+φ）+$\frac{5}{2}$≤$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{5}{2}$，
则2cos²$\frac{B}{2}$+3cos²$\frac{C}{2}$的取值范围为（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{5}{2}$]．

点评 此题考查了正弦定理，和差化积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．