Question

17．己知函数f（x）=（2a+2）lnx+2ax²+5，g（x）=$\frac{1}{2}$lnx-$\frac{1}{2{e}^{2}}$x
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞0时，对?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，对参数a分类讨论从而判断f'（x）是否大于0即可判断f（x）的单调性；
（2）对?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立可转化为：10+g（x）_max≤f（x）_min；

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f'（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax=$\frac{2（2a{x}^{2}+a+1）}{x}$
当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增
当a≤-1时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$
即x∈$（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$  时，f'（x）＞0；x∈$（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 时，f'（x）＜0
故f（x）在 $（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$ 单调递增，在 $（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 单调递减；
（2）对?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，可知
10+g（x）_max≤f（x）_min，
根据（1）可知f（x）为单调递增函数，f（x）_min=f（2）=（2a+2）ln2+8a+5，
g（x）=$\frac{1}{2}lnx$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$ x，g'（x）=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-x}{2x{e}^{2}}$，所以在[2，e²]为增函数，在[e²，2e²]为单调减函数，
g（x）_max=g（e²）=$\frac{1}{2}ln{e}^{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}×{e}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
（2a+2）ln2+8a+5≥$\frac{1}{2}$+10，
∴a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$，
故所求的参数a的取值范围为a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及函数的极值与转化思想的应用，属中等题．