Question

在R上定义运算?：x?y=x（2-y），已知关于x的不等式（x+1）?（x+1-a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．
（1）x求实数a，b
（2）对于任意的t∈A，不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由新定义得到不等式，求解不等式后结合不等式的解集列关于a，b的方程，则答案可求；
（2）把不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立看作是关于t的一次不等式，然后由t取-1和1时对应的代数式大于0求得x的取值范围．

解答： 解：（1）由（x+1）?（x+1-a）＞0，得（x+1）（a+1-x）＞0，
∴（x+1）（x-a-1）＜0，
∴-1＜x＜a+1，
∵不等式（x+1）?（x+1-a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，
∴b=-1，a+1=1，a=0；
（2）由（1）知，A=（-1，1），
令g（t）=xt+（x²-2x+1），
对于任意的t∈（-1，1），不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立，
当x=0时，上式显然成立；
当x≠0时，则

g(-1)=-x+x2-2x+1≥0 g(1)=x+x2-2x+1≥0

，即

x2-3x+1≥0 x2-x+1≥0

，
解得：x≤

3- 5

2

或x≥

3+ 5

2

．
∴实数x的取值范围是(-∞，

3- 5

2

]∪[

3+ 5

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，训练了更换主元法思想方法，是中档题．