Question

已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与点A（0，

2

）关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，确定双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，即可求双曲线C的方程；
（2）直线y=mx+1与双曲线C方程联立，令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根，即可求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

解答： 解：（1）∵双曲线C的两条渐近线方程为y=±x
故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，…（2分）
A(0，

2

)关于直线y=x对称点为(

2

，0)
∴双曲线C的一个焦点为(

2

，0)…（3分）
∴2a²=2，a²=1，∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（4分）
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0…（6分）
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

，…（8分）解得1＜m＜

2

…（9分）
又AB中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)…（10分）
∴直线L的方程为y=

1

-2m2+m+2

(x+2)…（11分）
令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

…..（12分）
=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

…（13分）
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
∴故b的取值范围是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)…（14分）

点评：本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．