Question

如图所示，三棱锥D-ABC，已知平面ABC⊥平面ACD，AD⊥DC，AC=6，AB=4

3

，∠CAB=30°
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）若二面角A-BC-D为45°，求直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由余弦定理得BC=2

3

，从而AC⊥BC，BC⊥平面ACD．由此能证明BC⊥AD．
（Ⅱ）解法一：由BC⊥平面ACD，BC⊥CD．∠ACD是平面BCD与平面ABC所成的二面角的平面角，由此能求出直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．
（Ⅱ）法二：利用空间向量：建立空间直角坐标系，忍能求出直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：△ACB中，
应用余弦定理：cos∠CAB=

AC2+AB2-BC2

2AC•AB

=

3

2

，
解得BC=2

3

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．（3分）
∵平面ABC⊥平面ACD，
平面ABC∩平面ACD=CD，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACD．
又∵AD?平面ACD
∴BC⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ），BC⊥平面ACD，CD?平面ACD，
∴BC⊥CD．
又∵AC⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC，
∴∠ACD是平面BCD与平面ABC所成的二面角的平面角，即∠ACD=45°． （8分）
∵AD⊥DC，AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCD．
∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角． （10分）
Rt△ACD中，AD=ACsin45°=3

2

∴Rt△ADB中，sin∠ABD=

AD

AB

=

6

4

．（12分）
（Ⅱ）法二：利用空间向量：如图建立空间直角坐标系，
平面CAB法向量u=（0，0，1），
设平面BCD的法向量v=（1，λ，μ），由v⊥

CB

，知λ=0，
从而v=（1，0，μ），cos＜u，v＞=

u•v

|u||v|

=

μ

1+μ2

=

2

2

解得μ=1，v=（1，0，1），
由题意知A（6，0，0），B(0，2

3

，0)，
则

AB

=(-6，2

3

，0)，
设直线AB与平面BCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AB

，v＞|=

6

4

，
即求直线AB与平面BCD所成的角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．