Question

3．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2CD，E、E₁分别是棱AD，AA₁上的点，设F是棱AB的中点，证明：EE₁∥平面FCC₁．

Answer 1

分析 法一：由EE₁∥A₁D⇒EE₁∥F₁C⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用线线平行来推线面平行．
法二：由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用面面平行来推线面平行．

解答 证明：证法一：取A₁B₁的中点为F₁，
连接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，
所以F₁∈平面FCC₁F₁，
因为平面FCC₁F₁即为平面C₁CFF₁，
连接A₁D，F₁C，
由于A₁F₁和D₁C₁和CD平行且相等．
所以　四边形A₁DCF₁为平行四边形，
因为　A₁D∥F₁C．
又　EE₁∥A₁D，
得EE₁∥F₁C，
而　EE₁?平面FCC₁F₁，F₁C?平面FCC₁F₁，
故　EE₁∥平面FCC₁F₁．
证法二：因为F为AB的中点，AB=2CD，AB∥CD，
所以CD∥AF，
因此　四边形AFCD为平行四边形，
所以　AD∥FC．
又　CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，
FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁F₁，
所以　平面ADD₁A₁∥平面FCC₁F₁，
又　EE₁?平面ADD₁A₁，
所以　EE₁∥平面FCC₁．

点评 本题考查线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．